BARISAN DAN DERET

Definisi Barisan :
Barisan adalah daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mempunyai karakteristik atau pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan.

Contoh :
1,2,3,4,5,6,…,…,…,…,… dst
2,4,6,8,10,12,…,…,…,… dst

Definisi deret :
Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Jika U1,U2,U3,…..Un maka U1 + U2 + U3 +… +Un adalah deret.

Contoh :
1 + 2 + 3 + 4 +… + Un
2 + 4 + 6 + 8 +… + Un

A. Baris dan Deret Aritmatika

Definisi baris aritmatika :
Jika beda antara suatu suku apa saja dalam suatu barisan dengan suku sebelumnya adalah suatu bilangan tetap b maka barisan ini adalah barisan aritmatika. Bilangan tetap b itu dinamakan beda dari barisan.

Polanya : a, a+b, a+2b, a+3b,…..,a+(n-1)b
Dengan
o a = U1= Suku pertama
o b = beda
o n = banyaknya suku
o Un = Suku ke-n


Suku pertamanya adalah 3 (a=3) dan bedanya adalah 2 (b=2), banyaknya suku ada 5 (n=5), suku ke-5 adalah 11 (U5 = 11).

Deret aritmatika adalah jumlah dari baris aritmatika.
Contoh : 3 + 5 + 7 + 9 + 11
o Ut = Suku tengah
o Sn = Jumlah n suku pertama

Berikut adalah cara untk mengetahui nilai dari beberapa hal yang disebut di atas :
· Beda
b = Un – Un-1
· Suku ke-n
Un = a + (n-1)b
Un = Sn – Sn-1
· Jumlah n suku pertama
Sn = ½ n (U1 + Un)
Sn = ½ n ( 2a + (n-1)b )
· Nilai tengah
Ut = ½ (U1 + Un)


B. BARIS DAN DERET GEOMETRI

Definisi barisan geometri :
Jika rasio antara suku apa saja dalam suatu barisan dengan suku sebelumnya merupakan suatu bilangan tetap r maka barisan tersebut adalah barisan geometri.bilangan tetap r disebut rasio dari barisan.

Contoh :
2,6,18,48….. adalah barisan geometri dengan rasio 3. Artinya adalah nilai pada Un = 3Un-1.


Definisi deret geometri :
Jika U1,U2,U3,…..Un adalah barisan geometri maka jumlah U1 + U2 + U3 +… +Un disebut deret geometri.

Rumus jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah :
Sn = a( 1- rn ) / 1 – r , jika r < 1 dan Sn = a( rn - 1) / r – 1 , jika r > 1

Ordo Matriks

Pengurangan Dua Matriks
Syarat Pengurangan
Sebuah matriks dapat dikurangkan oleh matriks lain yang ordonya sama.
Pengurangan antara dua matriks dapat dilakukan dengan mengurangkan setiap elemen seletak pada kedua matriks tersebut.
Ordo Matriks hasil pengurangan akan sama dengan ordo matriks yang dioperasikan.
Contoh 1
Diketahui matriks-matriks :
Manakah diantara operasi-operasi pengurangan matriks berikut yang dapat dilakukan :

1. A – B Tidak dapat dilakukan, ordo matriks A adalah 2x3 sedangkan ordo matriks B adalah 3x2
2. A – C Tidak dapat dilakukan, ordo matriks A adalah 2x3 sedangkan ordo matriks C adalah 2x2
3. B – D Dapat dilakukan, karena ordo matriks B sama dengan ordo matriks D, yaitu 3x2
4. C – D Tidak dapat dilakukan, ordo matriks C adalah 2x2 sedangkan ordo matriks D adalah 3x2
5. A – E Dapat dilakukan, karena ordo matriks A sama dengan ordo matriks E, yaitu 2x3


Contoh 2
Diketahui matriks-matriks: A = dan B =
Tentukan hasil pengurangan antara dua matriks berikut :
a. A – B
b. B – A
Jawab
a. Ordo matriks A dan ordo matriks B sama, yaitu 2x3, maka :
b. Ordo matriks B dan ordo matriks A sama, yaitu 2x3, maka :
Nampak bahwa A – B ≠ B – A, berarti pada operasi pengurangan matriks tidak berlaku sifat komutatif.

Limit

Untuk x mendekati harga tertentu dapat ditentukan nilai pendekatan dari f(x) yang merupakan limit (nilai Batas) dari f(x) tersebut.

CONTOH :

Untuk x mendekati tak berhingga, maka f(a) = 2/x akhirnya akan mendekati 0.

ditulis : l i m 2 = 0
x ® ¥ x

Hasil yang harus dihindari

0/0 ; ¥/¥ ; ¥-¥ ; 0,¥ (*) (bentuk tak tentu)

TEOREMA

1. Jika f(x) = c maka l i m f(x) = c
x ® a
2. Jika l i m f(x) = F dan l i m g(x) = G maka berlaku
x ® a x ® a
a. l i m [f(x) ± g(x)] = l i m f(x) ± l i m g(x) = F ± G
x ® a x ® a x ® a

b. l i m [f(x) • g(x)] = l i m f(x) • l i m g(x) = F • G
x ® a x ® a x ® a

c. l i m k • f(x) = k l i m f(x) = k • F
x ® a x ® a

l i m f(x)
d. l i m f(x) = x ® a = F
x ® a g(x) l i m g(x) G
x ® a


LANGKAH MENCARI LIMIT SUATU FUNGSI

1. Harga yang didekati disubstitusikan ke fangsi yang dimaksud.
Bila bukan (*) maka itulah nilai limitnya.

2. Bila (*) maka usahakan diuraikan.
Pada fungsi pecahan, faktor yang sama pada pembilang dan penyebut (penyebab bentuk (*)) dicoret. Pencoretan im boleh dilakukan, karena x hanya mardekati harga yang diberikan. Kemudian baru harga yang didekati disubstitusikan.

Fungsi Konstan

Fungsi yang berbentuk Image:R1.pngImage:R2.png dengan Image:R3.png suatu konstanta disebut fungsi konstan. Grafiknya berupa sebuah garis mendatar.


Fungsi Identitas
Fungsi yang berbentuk Image:a1.png ,Image:a2.png disebut fungsi identitas.


Fungsi Polinomial
Fungsi polinomial dinyatakan sebagai dengan bilangan bulat taknegatif, dan adalah konstanta bilangan nyata (real) dan disebut koefisien polinomial. Jika maka disebut derajat dari fungsi polinomial. Pada umumnya daerah asal dan wilayah fungsi polinomial adalah: dan dengan



Fungsi Rasional
Fungsi Berkas:B1.pngdisebut fungsi rasional bila dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua fungsi polinomial, yaitu dengan dan fungsi-fungsi polinomial. Daerah dan wilayah fungsi rasional adalah
sehingga
untuk


Fungsi Akar Kuadrat
Suatu fungsi disebut sebagai fungsi akar kuadrat bila memiliki bentuk Secara umum Daerah dan wilayah fungsi akar kuadrat adalah:
dan


Fungsi Nilai Mutlak
Fungsi nilai mutlak dinyatakan sebagai : dengan dengan Secara umum :



Operasi pada Fungsi
Misalkan fungsi dan berturut-turut didefinisikan pada daerah dan dan suatu konstanta. Maka : dan merupakan fungsi yang didefinisikan sebagai :
dengan
dengan
dengan
dengan dan
Fungsi Komposisi
Misalkan fungsi dan berturut-turut didefinsikan pada dan Fungsi komposisi didefinisikan sebagai dengan dan